O1、O3-mini不管算多久，不管算几次，都算不对。有啥好吹的 R1给的答案：已知直线 \( m \) 与平面 \( \alpha \) 所成的角为 \( \frac{\pi}{4} \)，直线 \( n \subset \alpha \)，直线 \( m \subset \beta \)。设 \( m \) 与 \( n \) 的夹角为 \( \theta_1 \)，平面 \( \alpha \) 与 \( \beta \) 的夹角为 \( \theta_2 \)。通过以下分析确定 \( \theta_1 \) 和 \( \theta_2 \) 的关系：1. **直线与平面的夹角定义** 直线 \( m \) 与平面 \( \alpha \) 的夹角为 \( \frac{\pi}{4} \)，表示 \( m \) 的方向向量 \( \mathbf{v} \) 与平面 \( \alpha \) 的法向量 \( \mathbf{n}_\alpha \) 的夹角为 \( \frac{\pi}{4} \)，即 \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}_\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。2. **平面夹角的几何关系** 平面 \( \beta \) 的法向量 \( \mathbf{n}_\beta \) 与 \( \mathbf{n}_\alpha \) 的夹角为 \( \theta_2 \)。由于 \( m \subset \beta \)，\( \mathbf{v} \) 垂直于 \( \mathbf{n}_\beta \)，即 \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}_\beta = 0 \)。通过向量分解和正交条件推导得出，\( \theta_2 \geq \frac{\pi}{4} \)。3. **直线夹角的分析** 当 \( \theta_2 = \frac{\pi}{4} \) 时，存在平面 \( \alpha \) 内的直线 \( n \) 使得 \( \theta_1 = \frac{\pi}{4} \)。当 \( \theta_2 > \frac{\pi}{4} \) 时，\( \theta_1 \) 的最小值仍为 \( \frac{\pi}{4} \)，最大值可达 \( \frac{\pi}{2} \)。因此，\( \theta_1 \geq \frac{\pi}{4} \)。4. **结论** 平面 \( \alpha \) 与 \( \beta \) 的夹角 \( \theta_2 \geq \frac{\pi}{4} \)，且直线 \( m \) 与 \( n \) 的夹角 \( \theta_1 \geq \frac{\pi}{4} \)。符合选项 **A**。\[ \boxed{A} \] R1答案一次输入框完成不了，很长很长 确实，R1思考时间有点儿太长了，但是比其它便宜太多了
出结果更快还是gpt/claude好一些，需要钞能力 o1几十秒都没有，十几秒吧 本帖最后由 Tiamat 于 2025-2-17 20:18 编辑
testisitok 发表于 2025-2-17 20:11
十几秒就对了，答案简洁有力
对个J8
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这是收费的o1还是免费o3-mini
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